Corner grinder how to bring fractions to a common denominator. An example give the fractions and…

Lesson 10 gain access for 75 points bringing fractions to a common denominator

In this lesson, we will learn to lead the fractions to the same denominator. These are very useful techniques that will come in handy even in the exam in the 9th grade. Therefore, be careful and study the material without missing anything!

Lorem Ipsum Dolor Sit Amet, Consectur Adipisicing Elit. Adipisci Autem Beatae Consectur Corporis Dolores Ea, Eius, Esse Id Illo ISTE MOLLITIA NESCIUNT NISII OBCAECATI SIMILIQUE TEMPORE VolUptate!

Adipisci Alias ​​Assumenda Consequatur Cupidite, Ex ID Minima Quam Rem Sint Vitae? Animi Dolores Earum Enim Fugit Magni Nihil Odit Provider quaeratat. Alique Aspernatur Eos Esse Magnam Maiores Necessitatibus, Nulla?

Bringing fractions to a common denominator

Multiply the numerator and denominator of the fraction \ (\ mathbf \) by the same number 2. We get a fraction equal to her \ (\ mathbf \), t.e. \ (\ mathbf = \ frac \).

They say that we brought a fraction \ (\ mathbf \) to the new denominator 8.

The fraction can be brought to any denominator, a multiple denominator of this fraction.

The number on which the denominator of the fraction needs to be multiplied in order to get a new denominator is called an additional factor.

When bringing a fraction to the new denominator, its numerator and denominator is multiplied by an additional factor.

Let us give a fraction \ (\ mathbf \) to the denominator 20

Number 20 is multiple 5, since 20: 5 = 4

An additional multiplier is the number 4.

Multiplying the numerator and denominator of the fraction by 4, we get \ (\ mathbf = \ frac = \ frac \)

Any two fractions can be brought to the same denominator, or otherwise, to a common denominator.

A) \ (\ mathbf \) to the denominator 60

B) \ (\ mathbf \) to the denominator 27

C) \ (\ mathbf \) to the denominator 42

D) \ (\ mathbf \) to the denominator 44

Lorem Ipsum Dolor Sit Amet, Consectur Adipisicing Elit. Adipisci Autem Beatae Consectur Corporis Dolores Ea, Eius, Esse Id Illo ISTE MOLLITIA NESCIUNT NISII OBCAECATI SIMILIQUE TEMPORE VolUptate!

Adipisci Alias ​​Assumenda Consequatur Cupidite, Ex ID Minima Quam Rem Sint Vitae? Animi Dolores Earum Enim Fugit Magni Nihil Odit Provider quaeratat. Alique Aspernatur Eos Esse Magnam Maiores Necessitatibus, Nulla?

corner grinder how to bring fractions to a common denominator

The calculator will lead the fractions to the smallest common denominator. To bring fractions to a common denominator, you need to indicate the number of fractions and introduce fractions.

If reduced fractions are introduced. The calculator will reduce the fractions before starting to lead them to a common denominator.

Click the calculation button and the calculator will indicate how to bring the fractions to the smallest common denominator.

Bringing fractions to a common denominator

To perform operations with fractions, it is often necessary to bring fractions to a common denominator. Consider the process of bringing two fractions to the smallest common denominator:

An example to bring fractions to the smallest common denominator

.

Examples of fractions to a common denominator

Consider by example how to bring fractions to the smallest common denominator.

An example give the fractions to the smallest common denominator

.

Consider an example of bringing several fractions to the smallest common denominator of several. To find the NOC of several numbers, we will use the property: NOK (A, NOK (B, C)) = NOK (NOC (A, B), C)

An example give a few fractions. and to the smallest common denominator

.

In what cases it becomes necessary to bring fractions to a common denominator?

Using the main property of a fraction, any two ordinary fractions can be brought to the form when they have a common denominator. Frops with a common denominator can be added, subtract and compared with each other. Thus, whenever one of these operations must be performed, it is necessary to bring fractions to the common denominator.

What are the rules of arithmetic operation for rational numbers in the form of fractions?

The rules of arithmetic operations for rational numbers presented in the form of ordinary fractions are as follows:

to fold two fractions, you need to bring them to the common denominator and then make a fraction of which the number of numerators, and

denominator.general :

in order to subtract one fraction from another, you need to bring them to a common denominator and then make a fraction in which the numerator is a difference

numerators, and the denominator is general:

in order to multiply one fraction by another, you need to make a fraction of which the numerator is a work of numerators, and the denominator is a work

Denominators:

in order to divide one shot into another, you need to make a fraction of which the numerator of the numerator of the divided fraction to the denominator

The fractions of the divider, and the denominator is the work of the denominator of the divided fraction on the numerator of the fraction of the Detail:

How to multiply a fraction by an integer number? How to divide a fraction whole by a number?

To multiply the fraction by the number, you must multiply by this number of the numerator, and the denominator should be left without change.

To divide the fraction by an integer, you must multiply by this number of the denominator, and the numerator should be left without change.

How to compare two rational numbers in the form of fractions?

It is necessary to bring the fractions to the common denominator and compare the numerators.

What order on rational numbers is considered natural?

The order on the rational numbers obtained by continuing the natural order of integers and in which a comparison of rational numbers occurs according to rule 55 is considered a natural order on rational numbers.

In the transition from natural numbers to integers, the basic properties of inequalities have received certain changes (additions). Have the basic properties of inequalities have changed in the transition from integers to rational?

In the transition from natural numbers, negative numbers were added to the whole, for which, unlike natural ones, the larger the number module, the less the number itself. It was this circumstance that led to additions in the main properties of inequalities. In the transition from entirely to rational, new objects with similar properties were not introduced. Therefore, the main properties of inequalities on rational numbers are exactly the same as they are formulated for integers.

Bringing algebraic fractions to a common denominator

The main property of algebraic fractions allows them to lead them to a common denominator and simplify complex expressions:

Algorithm for bringing algebraic fractions to a common denominator

• Lay out all denominators into multipliers (coefficients, degrees of variables, double.membranes, triceps, polynomials)
• Find the smallest common multiple denominators. this will be a common denominator.
• Find additional factors for each of the fractions.
• Multiple the numerator of each of the fractions by its additional multiplier, write down the result with the common denominator.

Например: привести к общему знаменателю \frac, \frac, \frac

Наименьшее общее кратное: xy^2

Примеры

Пример 1. Найдите допустимые значения переменных, входящих в дробь:

a^2-4 \neq 0 \iff (a-2)(a2) \neq 0 \iff a \neq \pm 2

Обратите внимание: несмотря на то, что дробь сокращается \frac = \frac = k-1 требование k \neq.1 сохраняется.

x- \frac \neq 0 \iff \frac \neq 0 \iff \left\ \begin x^2-4 \neq 0 \\ x \neq 0 \end \right. \iff x \neq

y^2-3|y| \neq 0 \iff |y|(|y|-3) \neq 0 \iff \left\ \begin |y| \neq 0 \\ |y| \neq 3 \end \right. \iff y \neq

График – прямая y(x) = 0,5x-1, кроме точки (-2;-2), т.к. x \neq.2.

График – прямая y(x) =.x1, кроме точек (-4;5) и (4;-3), т.к. x \neq \pm 4.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю выполняется по тем же правилам, что и приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю. Следовательно, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно:

• найти общий знаменатель для данных дробей;
• найти дополнительный множитель для каждой дроби;
• умножить числитель каждой дроби на её дополнительный множитель;
• записать дроби с найденными новыми числителями и общим знаменателем.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель для дробей, надо разложить знаменатель каждой дроби на множители и взять каждый множитель в наибольшей встречающейся степени.

Пример 1. Привести дроби к общему знаменателю:

Решение: Разложим знаменатели дробей на множители:

Выпишем множители первого знаменателя и добавим к ним недостающие множители из второго и третьего знаменателя:

3 a 2 2 b = 6a 2 b.

Мы нашли наименьший общий знаменатель для данных дробей. Теперь, чтобы привести дроби к общему знаменателю, нам надо найти для каждой дроби дополнительный множитель. Для этого нужно разделить общий знаменатель на знаменатель каждой дроби:

6a 2 b : 3a 2 = 2b;

6a 2 b : 2b = 3a 2 ;

Умножаем числитель каждой дроби на её дополнительный множитель:

Осталось записать дроби с найденными новыми числителями и их общим знаменателем:

Пример 2. Привести дроби к общему знаменателю:

Решение: Разложим на множители знаменатель второй дроби, используя формулу разности квадратов:

a 2. 4 = a 2. 2 2 = (a 2)(a. 2).

Получившееся произведение и будет общим знаменателем для данных дробей. Значит, для приведения дробей к общему знаменателю, нам нужно только умножить числитель первой дроби на сумму чисел (a 2).

3a (a 2) = 3a 2 6a.

Произведение суммы и разности чисел a и 2 можно обратно свернуть в квадрат разности для более краткой записи дробей:

Общий знаменатель

Самый простой способ, как привести дробь к общему знаменателю, — верхнюю и нижнюю части первой дроби умножить на значение в знаменателе второй, а верхнюю и нижнюю часть второго дробного числа — на значение в знаменателе первой. Проверочное правило, действующее в этом случае: дробь не меняется, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

Даны две дроби: 3/13 и 3/7. После выполнения необходимых действий получится: 3/137 = 21/91, 3/713 =39/91.

Общий знаменатель (ОЗ) — это любое натуральное число, которое является всеобщим кратным всех данных дробей. Иными словами, это значит, что ОЗ может быть любое число из натуральных, которое обязательно будет делиться на знаменатель каждого дробного числа. Допустим, есть две обычных дробных соотношения 4/8 и 5/10. ОЗ в этом случае может быть любым значением, кратным 8 и 10. А конкретно, это значения: 80, 160, 240, 320, 400 и так далее.

Дано 3 дробных значения: 1/5, 3/10 и 9/15. Вопрос: может ли ОЗ быть числом 330? Ответ: да, потому что оно делится на знаменатель каждого соотношения без остатка: 330/5 = 66, 330/10 = 33, 330/15 = 22.

НОЗ и НОК

При работе с дробями используются наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее натуральное число среди всех ОЗ ряда дробных чисел и наименьшее общее кратное (НОК) — это самый меньший общий делитель данного ряда чисел.

Наименьшее общее кратное — это НОЗ этого ряда. К нему можно прийти поиском НОК.

Например, необходимо провести следующую операцию для двух дробных значений: 7/16, 19/6. Нужно узнать, какой НОК у 16 и 6. Простые множители этих чисел:

Существует простое правило о том, как перевести дробное число к НОЗ. Вычисления проводятся по порядку:

• Найти НОК.
• Для каждого дробного числа из ряда определить дополнительный множитель. Определить его можно с помощью деления НОЗ на знаменатель каждой из дробей.
• Умножить обе части каждой дроби на их дополнительные множители.

Пример. Есть 2 дробных значения: 3/14 и 18/30. Теперь можно воспользоваться правилом, для того чтобы найти НОЗ:

• Найти НОК: 14 = 27; 30 = 523; НОК (14,32) = 5273 = 210;
• Найти дополнительные множители: 210/14 = 15; 210/30 = 7;
• Перемножить верхнюю и нижнюю части с дополнительными множителями: 315/1415 = 45/210; 187/307 = 126/210.

Наименьший общий знаменатель.

Приведите дроби \ (\ frac \) и \ (\ frac \) к наименьшему общему знаменателю.

Наименьшими общими знаменателями чисел 8 и 12 являются 24, 48, 96, 120, …. В этом случае в качестве наименьшего общего знаменателя принято выбирать числовое значение 24.

Наименьший общий знаменатель — это наименьшее число, которое делит знаменатели первой и второй дроби.

Как найти наименьший общий знаменатель? Перейдите к числам, на которые делятся знаменатели первой и второй дроби, и выберите наименьшее из них.

Дробь со знаменателем 8 нужно умножить на 3, а дробь со знаменателем 12 нужно умножить на 2.

Если дроби нельзя сразу привести к наименьшему общему знаменателю, то проблемы нет. Вам может понадобиться уменьшить ответ при последующем решении примера.

Наименьший общий знаменатель можно найти в любых двух дробях. Альтернативно, это может быть произведение знаменателей этих дробей.

Пример: наименьшим общим знаменателем является дробь \ (\ frac \) и \ (\ frac \).

Самый простой способ найти наименьший общий знаменатель — найти произведение знаменателей 4⋅16=64. Число 64 не является наименьшим общим знаменателем. Задача — найти наименьший общий знаменатель. Поэтому мы продолжаем искать. Нам нужно число, которое делится и на 4, и на 16, то есть 16. Умножьте дробь на знаменатель 4 x 4, умножьте дробь на знаменатель 16 x 1 и сократите ее до общего знаменателя. Мы получаем:.

Тематический вопрос: можно ли привести две дроби к одному и тому же наименьшему общему знаменателю? ОТВЕТ: да.

К какому знаменателю обычно относятся дроби? Ответ: к наименьшему общему знаменателю.

Пример 1: В случае дроби ⌘ (⌘ frac \) знаменатель используется для описания равных дробей: a) 12 b) 18 c) 50;

Решение: a) Чтобы получить 12, число 2 нужно умножить на 6. Поэтому умножьте целую дробь на дополнительный коэффициент 6.

б) Чтобы получить 18, нужно умножить число 2 на 9. Поэтому умножьте целую дробь на дополнительный коэффициент 9.

(c) Чтобы получить 50, число 2 нужно умножить на 25. Поэтому умножьте целую дробь на дополнительный множитель 25.

Приведение дробей к общему знаменателю

Приведение дробей к общему знаменателю — это замена данных дробей, имеющих разные знаменатели, на равные им дроби, у которых одинаковые знаменатели.

Дроби можно привести либо просто к общему знаменателю, либо к наименьшему общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель — это наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю нужно:

• Выполнить сокращение дробей, если это возможно.
• Найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Именно НОК и станет их наименьшим общим знаменателем.
• Разделить НОК на знаменатели данных дробей. Этим действием мы находим дополнительный множитель для каждой из данных дробей. Дополнительный множитель — это число, на которое надо умножить члены дроби, чтобы привести её к общему знаменателю.
• Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель.

Пример. Привести к общему знаменателю дроби и.

Находим НОК знаменателей данных дробей:

24 : 8 = 3 (для )

24 : 12 = 2 (для ).

Приведение к общему знаменателю можно записывать в более краткой форме, указывая дополнительный множитель рядом с числителем каждой дроби (сверху справа или сверху слева) и не записывая промежуточные вычисления:

К общему знаменателю можно привести и более простым способом, умножив члены первой дроби на знаменатель второй дроби, а члены второй дроби — на знаменатель первой.

Пример. Привести к общему знаменателю дроби и :

В качестве общего знаменателя дробей можно взять произведение их знаменателей.

Приведение дробей к общему знаменателю используется при сложении, вычитании и сравнении дробей, у которых разные знаменатели.

Приведение дробей к общему знаменателю

Цель урока: закрепить основное свойство дроби, научить учащихся применять это свойство на практике приведения к общему знаменателю дробей, показать связь между приведением дробей к общему знаменателю и НОКом знаменателей дробей.

I. Организационный момент

II. Актуализация опорных знаний

Учитель фронтально опрашивает учащихся о основном свойстве дроби. Вспоминают понятие НОКа и способы нахождения НОКа двух чисел:

Поможет нам разобраться с этой темой основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Так, например, по основному свойству дробь 2/3 можно привести к знаменателю 6, умножив и числитель, и знаменатель на 2. Эту дробь можно привести и к знаменателю 9, и 12, и к любому другому числу, кратному 3.

Напомним, что дроби можно приводить только к тем знаменателям, которые кратны исходным.

Ученики по очереди называют числа, к которым можно привести знаменатель дроби ¾.

Дробь ¾ можно привести к знаменателю 4, 8, 12 и к любому другому числу, кратному 4.

Учитель обращает внимание учеников, что можно обе дроби привести к знаменателю 12.

III. Изучение нового материала

Говорят, можно 2/3 и ¾ можно привести к общему знаменателю.

То есть если у нас есть две дроби с разными знаменателями, мы можем сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Приведение к общему знаменателю понадобится для сложения и вычитания обыкновенных дробей. Кроме того, сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями очень просто.

Приведем к общему знаменателю дроби 11/12 и 17/18.

Сначала нам нужно найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей.

Таких чисел очень много: 36, 72, 108 и так далее.

Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.

То есть дроби можно привести к одинаковому знаменателю 36, 72, 108, 144 и так далее. Удобнее всего выбирать наименьший из возможных общих знаменателей, так как объем вычислений в этом случае будет минимальным.

11/12=33/36. Чтобы привести 11/12 к знаменателю 36, умножим числитель и знаменатель на 3.

Кстати, число, на которое мы умножаем числитель и знаменатель, называется «дополнительным множителем».

11/12=132/144. Чтобы привести 11/12 к знаменателю 144, умножим числитель и знаменатель на 12. А это немного сложнее, чем умножать на 3.

17/18=34/36. Чтобы привести 17/18 к знаменателю 36, умножим числитель и знаменатель на 2.

17/18=136/144. Чтобы привести 17/18 к знаменателю 144, умножим числитель и знаменатель на 8. Задумались? Поэтому не усложняйте сами себе задачу. Выбирайте наименьший общий знаменатель.

Ученики делают вывод о рациональности приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.

Для чисел 12 и 18 число 36 будет наименьшим общим кратным.

IV.Закрепление и практическое применение знаний

В математике существует много способов нахождения общего кратного чисел, а значит общего знаменателя для дробей.

Поэтому, если перед вами стоит задача приведения дробей к общему знаменателю, не торопитесь. Правильно выбранный способ может сократить ваше решение.

Приведем 7/12 и 5/48 к общему знаменателю. Вначале внимательно посмотрите на знаменатели дробей. Возможно, один из них делится на другой.

Ученики делают вывод, то знаменатель 48 делится на 12.

В этом случае дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать. 48 и будет общим знаменателем обеих дробей. А число, полученное в результате деления 48 на 12, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.

Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он только в случае, когда один знаменатель делится на другой.

Существует способ, который работает для любых дробей. Суть способа заключается в нахождении наименьшего общего кратного знаменателей. Этот способ используется чаще всего.

Приведем к общему знаменателю дроби 7/410 и 5/861.

Разложим эти числа на простые множители. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь быстро раскладывать на простые множители. Главное — помнить признаки делимости и иметь под рукой таблицу простых чисел.

Теперь записываем все множители одного из чисел, например числа 861. Потом добавляем к ним недостающие множители из разложения другого числа. В этом примере в разложении числа 410 три множителя: 2, 5 и 41. Множитель 41 уже есть в записи, а множителей 2 и 5 нет. Эти недостающие множители мы и добавим к выписанным множителям числа 861.

Наименьшее общее кратное чисел 410 и 861 равно 8610.

Теперь найдем дополнительный множитель для дроби со знаменателем 410. Для этого 8610 делим на 410. Получим 21.

Теперь найдем дополнительный множитель для дроби со знаменателем 861. Для этого 8610 делим на 861. Получим 10.

Последний этап — умножение дробей на дополнительные множители.

Если вам сложно раскладывать числа на множители, находить наименьший общий знаменатель, то следующий способ для вас.

Приведём к общему знаменателю 3/10 и 5/6.

Для этого умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби.

В результате знаменатели обеих дробей стали равными произведению исходных знаменателей.

Этот способ простой для понимания. Но приготовьтесь много считать, если используете этот способ для дробей с большими числами в числителе и знаменателе.