Доказать, что клетчатую доску 10х10 нельзя разрезать по линиям сетки на прямоугольники 1х4. (Решения по Д.Ю. Кузнецову.)
Решение 1. Разделим доску на квадраты 2х2 и раскрасим их в шахматном порядке (рис.1). Заметим, что любой прямоугольник 1х4 содержит поровну (по 2) чёрных и белых клеток, но при данной раскраске на доске 52 чёрных клетки и 48 белых, т.е. не поровну. Значит, разрезать доску 10х10 на прямоугольники 1х4 не удастся.
Решение 2. Раскрасим доску диагональной раскраской в 4 цвета (рис.2). Заметим, что любой прямоугольник содержит по одной клетке каждого из четырёх цветов, но при данной раскраске на доске по 25 клеток 1-го и 3-го цветов, 26 клеток – 2-го и 24 клетки – 4-го, т.е. не поровну. Значит, разрезать доску 10х10 на прямоугольники 1х4 не удастся.
Задачи.
1. Из шахматной доски вырезали нижнюю правую и левую угловые клетки. Можно ли полученную фигуру разрезать на доминошки 1х2? А если вырезать нижнюю правую и верхнюю левую?
2. Можно ли доску 6х6 разрезать на доминошки, так чтобы среди них было ровно 11 горизонтальных? (Горизонтальная раскраска в два цвета.)
3. Раскрасьте рисунок в четыре цвета так, чтобы соседние части были покрашены в разные цвета. Можно ли обойтись тремя цветами? (См. Занятие 6: Раскраска географической карты - 5-6 класс).
4. В квадрате 4x4 клетки левой половины покрашены в чёрный цвет, а остальные в белый. За одну операцию разрешается перекрасить в противоположный цвет все клетки внутри любого прямоугольника. Как за три операции из первоначальной раскраски получить шахматную?
5. Несколько кузнечиков сидят на одной прямой, причём расстояния между соседями - одинаковы. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Может ли через некоторое время кузнечик Саша оказаться на том месте, где в начале сидел его сосед Лёша?
6. а) Можно ли разрезать шахматную доску на фигурки, состоящие из 4 клеток в форме буквы "Т"?
б) Можно ли разрезать на такие фигурки шахматную доску 10x10?
7. Можно ли разбить квадрат 8×8 с отрезанным уголком на прямоугольники 1×3?
8. Можно ли доску 10×10 разрезать на фигурки из четырёх клеток в форме буквы"Г"? (Горизонтальная раскраска в два цвета.)
9. Доска 8×8 разрезана на доминошки размером 2×1. Может ли быть 15 вертикальных и 17 горизонтальных доминошек?
10. Треугольник разбит на треугольнички (25 штук), как показано на рисунке. Жук может ходить по треугольнику, переходя между соседними (по стороне) треугольничками. Какое максимальное количество треугольничков может пройти жук, если в каждом он побывал не больше одного раза?
11. Какое наибольшее количество ромбов, каждый из которых составлен из двух равносторонних треугольников со стороной 1, можно вырезать из равностороннего треугольника со стороной 5 (см. рис. предыдущей задачи).
12. Треугольный замок разделён на 100 одинаковых треугольных залов. В середине каждой стены сделана дверь. Сколько залов может осмотреть человек, не желающий нигде побывать больше одного раза?
