Міністерство охорони здоров’я України
Житомирський фармацевтичний коледж
ім. Г.С. Протасевича
Реферат
на тему:
“
Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя
”
Роботу виконала
Студентка 211 групи
Піщук Олеся
Викладач:
Виговська В.Г.
Отриманий бал:
_____________
м. Житомир – 2006
План
І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.
1) Правило Лопіталя.
а) Наслідок.
б) Приклад 1.
2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞
; 00
; ∞0
.
а) Приклад 2.
б) Приклад 3.
в) Приклад 4.
Список використаної літератури.
І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.
Лопіталь де Гійом Франсуа (1661-2.02.1704 рр.). Французький математик, член Парижської АН, народився в Парижі, вивчав математику під керівництвом У. Бернуллі. Видав перший друкований підручник по диференціальному обчисленню – “Аналіз нескінченно малих” (1696р.). В підручнику є правило Лопіталя – правило знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0. Крім того, він створив курс аналітичної геометрії конічних перетинів. Йому також належить дослідження і розвиток за допомогою математичного аналізу декількох важких задач по геометрії і механіці, а також одне із рівнянь знаменитої задачі о браністохроні.
1.
Правило Лопіталя.
Нехай виконані умови:
1. функції f(х)
та g(х)
визначені і диференційовані в колі точки х0
;
2. частка цих функцій
в точці х0
має невизначеність вигляду
або
;
3. існує
.
Тоді існує
і виконує рівність:
(1)
а) Наслідок.
Нехай:
1. Визначені в колі точки х0
функції f(х),
g(х)
та їх похідні до n
-го порядку включно;
2. Частки
,
, …,
мають невизначеність вигляду
або ;
3. Існує
, тоді
(2)
б) Приклад 1.
Знайти:
.
Розв’язання:
Функції
та
визначені з усіма своїми похідними в околі точки х=0
.
Маємо:
.
2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞
; 00
; ∞0
.
Існують прийоми, що дозволяють зводити вказані невизначеності до невизначеностей вигляду
або
, які можна розкривати з використанням правила Лопіталя.
1. Нехай
і
, тоді
(3)
За умовою
при
, тому
при .
Якщо
не прямує до 0 при
, то границя в правій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.
Якщо
при
, то вираз
має невизначеність .
2. Нехай
,
, тоді
має невизначеність вигляду
при .
В цьому випадку поступають так:
Під знаком останньої границі маємо невизначеність
.
3. Нехай
,
при
. Тоді
має невизначеність вигляду .
Позначимо
. Шляхом логарифмування цієї рівності одержимо:
Отже, обчислення натурального логарифма границі
зводиться до розкриття невизначеності вигляду
.
4. Невизначеності вигляду
та
зводять до невизначеностей
або
шляхом логарифмування аналогічно до невизначеності вигляду .
а) Приклад 2.
Знайти границю
.
Розв’язання:
Функції
та
диференційовані, а їх частка
має невизначеність вигляду
при .
Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
.
б) Приклад 3.
Знайти границю
.
Розв’язання:
В цьому випадку маємо невизначеність вигляду
. Позначимо
і про логарифмуємо цю рівність. Одержимо:
, тобто невизначеність вигляду
. Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
.
Отже,
.
в) Приклад 4.
Знайти границю
.
В цьому випадку маємо невизначеність вигляду
. Нехай
. Логарифмуючи цю рівність, одержимо:
.
Чотири рази застосували правило Лопіталя.
Отже, маємо:
Список використаної літератури:
1. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. К.82. Вища математика. Практикум. Навчальний посібник.–Київ: Центр навчальної літератури, 2005.–536с.
2. Бородин А.И., Бугай А.С., Биографический словарь деятелей в области математики. Радянська школа 1979.
3. Алгебра и начала анализа: В 2-х ч./ Под. ред. Г.Н. Яковлева.–2-е изд. –К.: Вища шк., Головное изд-во, 1984.–Ч.2. 293с.
|