2018-12-01
Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники периметра 2. Сколько прямоугольников могло получиться? (Укажите все возможные значения и обоснуйте).
Решение:
1) Покажем, что невозможно разрезать данный квадрат меньше, чем на четыре прямоугольника с периметром 2. Действительно, каждый из четырех углов квадрата является одновременно и углом одного из прямоугольников. Если нам удалось разрезать квадрат на 1, 2 или 3 прямоугольника с периметром 2, то хотя бы один из них занимает 2 угла. То есть, у такого прямоугольника две стороны равны стороне квадрата, следовательно, его периметр больше двух.
2) Разрезание квадрата со стороной 1 на четыре квадрата со стороной $\frac{1}{2}$ (см. рис. а) удовлетворяет условию задачи.
3) Разрежем квадрат на 4 одинаковых прямоугольника и квадрат так, как это показано на рис. б. Пусть одна из сторон прямоугольника равна $x$, тогда другая сторона имеет длину $1 - x$, поэтому периметр каждого из этих прямоугольников равен 2 независимо от значения $x$. Сторона «центрального» квадрата равна $1 - 2x$, то есть, его периметр равен $4 - 8x$. Следовательно, это разбиение удовлетворяет условию задачи при $x = \frac{1}{4}$.
4) Для того, чтобы разрезать данный квадрат на 6 прямоугольников периметра 2 достаточно разбить «центральный» квадрат на два равных прямоугольника (см. рис. в). В этом случае периметр каждого из них будет равен $2(1 - 2x) + 2 \frac{1 - 2x}{2} = 3(1 - 2x)$, то есть, $x = \frac{1}{6}$
Аналогично, изменяя значение $x$, можно разбивать центральный квадрат на любое количество равных прямоугольников, увеличивая тем самым количество прямоугольников в разрезании данного квадрата.
В общем виде: для того, чтобы разрезать данный квадрат на $n$ прямоугольников с периметром 2, достаточно разбить «центральный» квадрат на $n - 4$ одинаковых прямоугольника. Периметр каждого из них равен $2(1 - 2x) + 2 \frac{1 - 2x}{n - 4} = \frac{2(1 - 2x)(n - 3)}{n - 4}$. По условию, это выражение должно быть равно 2, то есть, $1 - 2x = \frac{n - 4}{n - 3}$, следовательно, $x = \frac{1}{2(n - 3)}$. Отметим, что эта формула применима и для «вырожденного» случая $n = 4$, рассмотренного в пункте 2).
Ответ: могло получиться любое количество прямоугольников, большее трех.